Công thức dẫn đến số phức

Khi ${b}^{2}-4ac$ âm, căn bậc hai trong công thức bậc hai chứa một số âm. Trong Đại số, điều đó có nghĩa là phương trình không có nghiệm thực; giờ đây, điều đó có nghĩa là phương trình có hai nghiệm phức. Xét ${x}^{2}-6x+34 = 0$: a bằng 1, b bằng -6, c bằng 34, và ${b}^{2}-4ac$ bằng $36-136$, tức là -100.

Vậy $x = \frac{6\pm\sqrt{-100}}{2}$, và $\sqrt{-100}$ bằng 10i, cho ta $x = \frac{6\pm10i}{2}$. Chia cả hai hạng tử ở tử số cho 2: $x = 3\pm5i$. Tách dấu ±: $x = 3+5i$ hoặc $x = 3-5i$.

Khi a, b và c là số thực, hai nghiệm luôn xuất hiện thành một cặp liên hợp: phần thực, tức là b chia cho 2a rồi đổi dấu, giống nhau, còn dấu ± chỉ đứng trước số hạng i.