1 + cot²x = csc²x

اقسم sin(x)² + cos(x)² = 1 على sin(x)² بدلًا من ذلك. يصبح الحد الأول 1، والثاني cot(x)²، والطرف الأيمن 1/sin(x)²، وهو csc(x)²:

1 + cot(x)² = csc(x)²

تتحقق هذه المتطابقة حيثما كان sin x لا يساوي 0. إذن هناك ثلاث متطابقات فيثاغورية، واحدة لكل زوج: الجيب وجيب التمام، والظل والقاطع، وظل التمام وقاطع التمام. يبقى العدد 1 دائمًا مع tan² وcot²، وليس مع sec² أو csc².

خذ csc(x)² - cot(x)². استبدل csc(x)² بـ 1 + cot(x)²، فيصبح التعبير 1 + cot(x)² - cot(x)². يُختزل مربعا ظل التمام، ويتبقى 1.