1 + tan²x = sec²x

اقسم كل حد من ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ على ${\cos\left(x\right)}^{2}$. عندئذٍ يكون $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ مساويًا لـ ${\tan\left(x\right)}^{2}$، ويكون $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ مساويًا لـ 1، ويكون $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ مساويًا لـ ${\sec\left(x\right)}^{2}$. وهذا يعطينا متطابقة ثانية.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

هذا صحيح حيثما كان cos x لا يساوي 0. اطرح 1 من كلا الطرفين: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. إذن $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ يساوي $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$، وهو يساوي tan x.