tan(A + B) وtan(A - B)

اقسم sin(A + B) على cos(A + B)، ثم اقسم البسط والمقام على cos A cos B، وستحصل على صيغ الظل بدلالة الظل فقط:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

يجب أن تكون tan A وtan B معرفتين (أي ألا تكون أي من الزاويتين 90° زائد عدد صحيح من أنصاف الدورات)، وألا يكون المقام 0. في البسط تتبع الإشارة الزاوية؛ أما في المقام فهي عكسها. عند التعبير عن 75° على أنها 45° + 30°، مع tan 45° = 1 و$\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب البسط والمقام في مرافقه، وهو هنا 3 + √3: فيصبح المقام 9 - 3 = 6، والبسط ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$، و$\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.