tan(A + B) وtan(A - B)

اقسم sin(A + B) على cos(A + B)، ثم اقسم البسط والمقام على cos A cos B، وستحصل على صيغ الظل بدلالة الظل فقط:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

يجب أن تكون tan A وtan B معرفتين (أي ألا تكون أي من الزاويتين 90° زائد عدد صحيح من أنصاف الدورات)، وألا يكون المقام 0. في البسط تتبع الإشارة الزاوية؛ أما في المقام فهي عكسها. عند التعبير عن 75° على أنها 45° + 30°، مع tan 45° = 1 وtan(30°) = √(3)/3:

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

للتخلص من الجذر في المقام، نضرب البسط والمقام في مرافقه، وهو هنا 3 + √3: فيصبح المقام 9 - 3 = 6، والبسط (3 + √(3))² = 12 + 6√(3)، وtan(75°) = 2 + √(3).