Трёхчлены — полные квадраты

Возведите скобку в квадрат, и получится закономерность: (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25. Среднее число, 10, — это удвоенное число 5, а последнее число, 25, — это 5 в квадрате. Квадрат любого выражения вида x + p равен x^2 + 2px + p^2.

Трёхчлен такого вида называется полным квадратным трёхчленом, и эту закономерность можно применить в обратном направлении. В выражении x^2 + 6x + 9 половина от 6 равна 3, а 3 в квадрате — это 9, поэтому выражение равно (x + 3)^2. Минус в середине даёт минус в скобке: x^2 - 8x + 16 — это (x - 4)^2, потому что -4, умноженное на -4, даёт +16.

Проверка проста: раздели среднее число пополам, возведи его в квадрат и сравни с последним числом. x^2 + 6x + 8 не подходит, потому что квадрат половины от 6 равен 9, а не 8. Среди действительных чисел последнее число полного квадрата никогда не бывает отрицательным.