Формула становится комплексной

Когда ${b}^{2}-4ac$ отрицательно, под квадратным корнем в формуле квадратного уравнения находится отрицательное число. В алгебре это означало отсутствие действительных решений; теперь это означает наличие двух комплексных решений. Возьмём ${x}^{2}-6x+34 = 0$: a равно 1, b равно -6, c равно 34, а ${b}^{2}-4ac$ равно $36-136$, то есть -100.

Итак, $x = \frac{6\pm\sqrt{-100}}{2}$, а $\sqrt{-100}$ равно 10i, поэтому получаем $x = \frac{6\pm10i}{2}$. Разделим оба слагаемых в числителе на 2: $x = 3\pm5i$. Раскроем знак ±: $x = 3+5i$ или $x = 3-5i$.

Когда a, b и c — действительные числа, эти два числа всегда идут сопряжённой парой: действительная часть, b, делённое на 2a с противоположным знаком, у них общая, а ± стоит только перед членом с i.