Квадраты, равные отрицательным числам

В алгебре у уравнения ${x}^{2} = -9$ не было решений, потому что квадрат любого действительного числа не равен -9. С числом i у него есть два решения. Начнём с ${x}^{2}+9 = 0$: перенесём 9 в другую часть, получим ${x}^{2} = -9$, затем извлечём квадратный корень из обеих частей: $x = 3i$ или $x = -3i$.

Почему два решения? И ${\left(3i\right)}^{2}$, и ${\left(-3i\right)}^{2}$ равны $9{i}^{2}$, то есть -9, так же как квадраты чисел 3 и -3 равны 9. При извлечении квадратного корня из обеих частей всегда появляется знак ±.

Два решения являются комплексно-сопряжёнными друг другу, и это не случайно: если у квадратного уравнения с действительными коэффициентами a, b и c есть решение с i, то сопряжённое ему число является другим решением.