Сопряжённое число

Сопряжённым числом для $a+bi$ является $a-bi$: действительная часть остаётся той же, а знак мнимой части меняется на противоположный. Сопряжённым числом для $2+7i$ является $2-7i$, а сопряжённым числом для $6-i$ является $6+i$.

Умножим число на его сопряжённое: $\left(2+7i\right)\left(2-7i\right) = 4-14i+14i-49{i}^{2}$. Два слагаемых с i противоположны и сокращаются, а $-49{i}^{2}$ равно +49. Результат равен 4 + 49, то есть 53 — действительное число.

Для вещественных a и b это всегда выполняется: $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) = {a}^{2}+{b}^{2}$. Сравните с выражением $\left(a+b\right)\left(a-b\right) = {a}^{2}-{b}^{2}$ из алгебры: минус превращается в плюс, потому что ${i}^{2} = -1$. Это пригодится в следующем уроке, поскольку умножение на сопряжённое число превращает комплексное число в вещественное.