Сопряжённое число

Сопряжённым числом для a + bi является a - bi: действительная часть остаётся той же, а знак мнимой части меняется на противоположный. Сопряжённым числом для 2 + 7i является 2 - 7i, а сопряжённым числом для 6 - i является 6 + i.

Умножим число на его сопряжённое: (2 + 7i)(2 - 7i) = 4 - 14i + 14i - 49i^2. Два слагаемых с i противоположны и сокращаются, а -49i^2 равно +49. Результат равен 4 + 49, то есть 53 — действительное число.

Для вещественных a и b это всегда выполняется: (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2. Сравните с выражением (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 из алгебры: минус превращается в плюс, потому что i^2 = -1. Это пригодится в следующем уроке, поскольку умножение на сопряжённое число превращает комплексное число в вещественное.