Степени i

Умножайте i на само себя снова и снова. ${i}^{1} = i$ и ${i}^{2} = -1$. Затем ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$, а также ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, что равно -1, умноженному на -1, то есть 1. Следующий множитель запускает цикл заново: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. Степени бесконечно повторяют цикл из четырёх значений: i, -1, -i, 1.

Поэтому для большой степени разделите показатель степени на 4 и возьмите остаток. Для ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$, поэтому ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, что равно 1, умноженной на -i, то есть -i. Остаток 1 даёт i, 2 — -1, 3 — -i, а 0 — 1.

Почему 4? Потому что ${i}^{4} = 1$, а умножение на 1 ничего не меняет, поэтому каждая группа из четырёх i сокращается. Вот почему ${i}^{40} = 1$: 40 — это 4, умноженное на 10, и ни одного i не остаётся.