Знакомство с i

Попробуй решить x^2 = -1. Положительное число, умноженное само на себя, даёт положительное число; отрицательное число, умноженное само на себя, тоже даёт положительное число, а квадрат 0 равен 0. Ни одно действительное число не имеет отрицательного квадрата, поэтому на числовой прямой это уравнение не имеет решений.

Математики ответили на это введением нового числа. Мнимая единица i определяется одним правилом: i^2 = -1. Значит, i — это квадратный корень из -1, и √(-1) = i. На числовой прямой её вообще нет. Декарт назвал такие числа «мнимыми» в 1637 году, и это не было комплиментом.

В алгебре i ведёт себя как буква с одним дополнительным правилом: всякий раз, когда появляется i^2, заменяй его на -1. Поэтому 3i + 2i = 5i, точно так же как 3x и 2x дают 5x. У числа -1 есть два квадратных корня: i и -i, потому что (-i)^2 тоже равно -1, точно так же как у числа 9 два квадратных корня: 3 и -3.