Một nghiệm sai

Giải $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}+4$. Nhân cả hai vế với $x-1$ để được $x+1 = 2+4\left(x-1\right)$. Khai triển: $x+1 = 4x-2$, vậy 3x bằng 3 và x bằng 1. Bây giờ thay 1 vào phương trình ban đầu: $x-1$ bằng 0, mà bạn không thể chia cho 0. x = 1 hoàn toàn không phải là nghiệm.

Điều đó xảy ra như thế nào? Khi x = 1, nhân với $x-1$ nghĩa là nhân cả hai vế với 0, khiến hai vế bất kỳ cũng bằng nhau. Vì vậy, phương trình mới có một nghiệm mà phương trình ban đầu không hề có. Một đáp án như vậy được gọi là nghiệm ngoại lai: đáp án sai do quá trình giải tạo ra, nhưng phương trình ban đầu không chấp nhận.

Vì x = 1 bị loại và không còn gì khác, phương trình này không có nghiệm. Đây là đáp án đúng và hoàn chỉnh, không phải là thất bại.