Lũy thừa bậc bốn

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ trông giống một phương trình bậc bốn khó giải, nhưng chỉ có ${x}^{4}$ và ${x}^{2}$, mà ${x}^{4}$ là ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Coi ${x}^{2}$ là một ẩn số, ta có một phương trình bậc hai: ẩn số đó bình phương, trừ đi 17 lần nó, rồi cộng 16. Hai số có tích bằng 16 và tổng bằng -17 là -1 và -16, nên ta phân tích được thành $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Mỗi ngoặc là một hiệu hai bình phương, nên vế trái phân tích thành bốn thừa số: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Xét từng trường hợp, ta được bốn đáp án: 1, -1, 4 và -4. Phương trình bậc bốn có nhiều nhất bốn nghiệm, và phương trình này có đủ cả bốn nghiệm.

Không phải biểu thức trong ngoặc nào cũng cho nghiệm thực. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ phân tích thành $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, và ${x}^{2} = -4$ không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không bao giờ âm. Các nghiệm thực duy nhất là 5 và -5.