Nhóm các hạng tử để giải

Khi một đa thức bậc ba có bốn hạng tử và không có nhân tử chung cho tất cả các hạng tử, hãy thử nhóm các hạng tử. Xét ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. Hai hạng tử đầu có nhân tử chung là ${x}^{2}$, còn hai hạng tử cuối có nhân tử chung là -9, nên vế trái là ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Bây giờ, x - 3 là nhân tử chung: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. Biểu thức trong ngoặc ${x}^{2}-9$ là hiệu hai bình phương, nên phương trình hoàn chỉnh là $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

Tách thành các trường hợp, ta được 3, rồi -3, rồi lại 3. Nhân tử x - 3 xuất hiện hai lần, nên 3 là một nghiệm bội. Trong đáp án, nghiệm này chỉ được tính một lần: các nghiệm là 3 và -3. Đáp án là một tập hợp số, mỗi số chỉ xuất hiện một lần, bất kể có bao nhiêu nhân tử trỏ đến số đó. Trên đồ thị, một nghiệm được lặp lại số lần chẵn, như 3 ở đây, là điểm mà đường cong chạm trục x rồi quay lại. Nghiệm được lặp lại số lần lẻ thì cắt trục: ${\left(x-1\right)}^{3}$ cắt trục tại 1.