Тождество частного

На окружности тангенс равен y, делённому на x, а точка имеет координаты (cos(x), sin(x)). Значит,

tan(x) = sin(x)/cos(x)

везде, где cos x не равен 0. Обратная ей функция — cot(x) = cos(x)/sin(x), везде, где sin x не равен 0. Переписывание tan и cot в таком виде часто становится первым шагом доказательства, потому что остаются только синусы и косинусы, которые можно сократить.

Возьмём cot(x)sin(x). Запишем cot в виде дроби: cos(x)/sin(x) · sin(x). Перемножим числители и знаменатели: (cos(x)sin(x))/sin(x). sin x в числителе и sin x в знаменателе сокращаются, и остаётся cos x. Сокращение означает деление на sin x, и это допустимо: там, где sin x равен 0, значение cot x изначально не было определено.