Возвести в квадрат, затем удвоить

Если возвести синус и косинус в квадрат и сложить, получится два квадрата, сумма которых равна 1, и перекрёстный член 2 sin x cos x, равный sin 2x. Возьмём ${\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)\right)}^{2}$. Раскроем скобки: ${\sin\left(x\right)}^{2}-2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+{\cos\left(x\right)}^{2}$. Сведём перекрёстный член к $-\sin\left(2x\right)$, а квадраты — к 1, и получим выражение $1-\sin\left(2x\right)$.

Это говорит о величинах: квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому 1 - sin 2x никогда не бывает отрицательным, а значит, sin 2x никогда не бывает больше 1.