1 + tan²x = sec²x

Разделите каждый член равенства ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ на ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Тогда $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ равно ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ равно 1, а $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ равно ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Получаем второе тождество.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Оно верно для всех x, при которых cos x не равно 0. Вычтем 1 из обеих частей: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Значит, $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ равно $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, то есть tan x.