Поворот на 90° и 180°

Добавление к углу четверти или половины оборота определённым образом меняет его синус и косинус, и формулы суммы точно показывают, как именно. Значения синуса и косинуса при 90°, 180° и 270° равны 0, 1 или -1, поэтому в каждой формуле один из множителей произведения обращается в ноль.

Рассмотрим $\sin\left(x+180^{\circ}\right)$. Формула даёт $\sin\left(x\right)\cos\left(180^{\circ}\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(180^{\circ}\right)$. Подставим $\cos\left(180^{\circ}\right) = -1$ и $\sin\left(180^{\circ}\right) = 0$: $\sin\left(x\right)\left(-1\right)+\cos\left(x\right)\left(0\right)$, что равно $-\sin\left(x\right)$. Половина оборота переносит точку на противоположную сторону от центра, поэтому обе координаты меняют знак.

Кофункции вычисляются так же: $\sin\left(90^{\circ}-x\right) = \sin\left(90^{\circ}\right)\cos\left(x\right)-\cos\left(90^{\circ}\right)\sin\left(x\right)$, что равно cos x.