Тождество или уравнение?

sin(x) = 1/2 верно при одних углах и неверно при других: за один оборот — только при 30° и 150°. Это уравнение, и решить его значит найти эти углы. sin(x)² + cos(x)² = 1 верно при любом угле. Это тождество, и решать здесь нечего.

Чтобы показать, что утверждение не является тождеством, достаточно найти один угол, при котором значения обеих частей различаются. Возьмём sin(x) + cos(x) = 1. При 0° получается 0 + 1 = 1, а при 90° — 1 + 0 = 1, поэтому обе проверки пройдены. При 60° получается √(3)/2 + 1/2, то есть примерно 1.37, поэтому это не тождество.

Этот же пример показывает, почему проверка углов никогда не доказывает тождество: утверждение дважды подтвердилось и всё равно оказалось ложным. Доказательство преобразует одну сторону в другую с помощью шагов, которые верны при любом угле.