tan(A + B) и tan(A - B)

Разделите sin(A + B) на cos(A + B), затем разделите числитель и знаменатель на cos A cos B, и получатся формулы тангенса, выраженные только через тангенсы:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

Для существования tan A и tan B необходимо, чтобы ни один из углов не был равен 90° плюс целое число полуповоротов, а знаменатель не был равен 0. В числителе знак соответствует углу; в знаменателе — противоположный. Для 75° = 45° + 30°, где tan 45° = 1 и tan(30°) = √(3)/3:

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

Иррациональность в знаменателе устраняют, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, в данном случае 3 + √3: знаменатель становится равным 9 - 3 = 6, числитель (3 + √(3))² = 12 + 6√(3), и tan(75°) = 2 + √(3).