tan(A + B) и tan(A - B)

Разделите sin(A + B) на cos(A + B), затем разделите числитель и знаменатель на cos A cos B, и получатся формулы тангенса, выраженные только через тангенсы:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Для существования tan A и tan B необходимо, чтобы ни один из углов не был равен 90° плюс целое число полуповоротов, а знаменатель не был равен 0. В числителе знак соответствует углу; в знаменателе — противоположный. Для 75° = 45° + 30°, где tan 45° = 1 и $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Иррациональность в знаменателе устраняют, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, в данном случае 3 + √3: знаменатель становится равным 9 - 3 = 6, числитель ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, и $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.