Суммы в произведения
Часть раздела Тригонометрические тождества путешествия по Trigonometry на Coddy. Урок 44 из 52.
Прочитайте формулы преобразования произведения в обратном направлении: через полусумму и полуразность углов сумма превращается в произведение:
sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)
cos(A) + cos(B) = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)
Для sin(5x) + sin(x) полусумма равна 3x, а полуразность — 2x, поэтому выражение равно 2sin(3x)cos(2x).
Так звучат вместе две ноты почти одинаковой высоты. Их сумма — это быстрая волна со средней частотой, умноженная на медленную волну с частотой, равной половине разности частот. Громкость зависит от амплитуды медленной волны, которая достигает пика дважды за каждый цикл, поэтому слышимые биения повторяются с частотой, равной полной разности: ноты с частотами 440 Hz и 442 Hz дают два биения в секунду.
Задание
В простой модели две ноты, сыгранные вместе, дают волну sin(42t) + sin(38t). Перепишите её в виде произведения синуса и косинуса.
Вводите каждую следующую строку самостоятельно; строка, не равная предыдущей, будет отклонена.
Используйте кнопку с формулой, затем введите произведение, вычислив полусумму и полуразность. После этого нажмите Проверить.
Попробуйте сами
Упростите выражение
Проверьте себяВ этом уроке есть небольшой тест. Начните урок, чтобы ответить на вопросы и сохранить прогресс.
Все уроки раздела Тригонометрические тождества
1Тождества на окружности
sin²x + cos²x = 1Квадраты стирают знакиТождество или уравнение?Повторение: тождество окружности4Чётные, нечётные функции и кофункции
Отрицательные углыЧётность и нечётность в доказательствеГрафики чётных и нечётных функцийКофункцииПовторение: знаки углов2Обратные величины и частное
Тождество частногоСеканс, косеканс, котангенсДеление на дробьГде они не работаютПовторение: обратные величины5Доказательство тождеств
Работа с одной частьюПреобразование через sin и cosСначала разложите на множителиСведите к одной дробиОшибки в доказательствахПовторение: докажите8Формулы понижения степени и половинного угла
Понижение степениsin²x — это волнаЗначения половинного углаТангенс половинного углаПовторение: половинные углы3Тождества Пифагора
1 + tan²x = sec²x1 + cot²x = csc²xРазность квадратовВозведение суммы в квадратПовторение: три формы6Сумма и разность
sin(A + B) и sin(A - B)cos(A + B) и cos(A - B)Поворот на 90° и 180°Читаем формулу в обратном порядкеtan(A + B) и tan(A - B)Повторение: формулы суммы9Произведение в сумму
Произведения в суммыСуммы в произведенияСуммы над суммамиПовторение: сумма в произведение