Суммы в произведения

Прочитайте формулы преобразования произведения в обратном направлении: через полусумму и полуразность углов сумма превращается в произведение:

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Для $\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$ полусумма равна 3x, а полуразность — 2x, поэтому выражение равно $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$.

Так звучат вместе две ноты почти одинаковой высоты. Их сумма — это быстрая волна со средней частотой, умноженная на медленную волну с частотой, равной половине разности частот. Громкость зависит от амплитуды медленной волны, которая достигает пика дважды за каждый цикл, поэтому слышимые биения повторяются с частотой, равной полной разности: ноты с частотами 440 Hz и 442 Hz дают два биения в секунду.