sin(A + B) и sin(A - B)

Синус суммы не равен сумме синусов. При 30° и 30° $\sin\left(60^{\circ}\right)$ примерно равен 0.87, тогда как $\sin\left(30^{\circ}\right)+\sin\left(30^{\circ}\right)$ равен 1. В правильных формулах смешиваются синус и косинус:

$$\sin\left(A+B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)+\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

$$\sin\left(A-B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)-\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

Они дают точные значения углов, которые не охватываются специальными треугольниками. 75° = 45° + 30°:

$$\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$

что равно $\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$, поэтому $\sin\left(75^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, примерно 0.966. Знак в середине соответствует знаку в угле.