sin 2x = 2 sin x cos x

Подставьте B = A в формулу суммы: $\sin\left(A+A\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(A\right)+\cos\left(A\right)\sin\left(A\right)$. Эти два произведения одинаковы, поэтому

$$\sin\left(2x\right) = 2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)$$

Удвоение угла не удваивает синус: при 30° $\sin\left(60^{\circ}\right)$ примерно равен 0.87, а не $2\sin\left(30^{\circ}\right) = 1$. Множитель 2 появляется только вместе с cos x.

Возьмём $\frac{\sin\left(2x\right)}{\cos\left(x\right)}$. Запишем числитель как $2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)$; теперь cos x в знаменателе является множителем числителя, поэтому его можно сократить, и останется $2\sin\left(x\right)$ там, где cos x не равен 0.