إجابة خاطئة

حلّ ln(x) + ln(x + 4) = ln(5). اجمع الطرف الأيسر في ln(x(x + 4))، وساوِ ما بداخل اللوغاريتمين، فتحصل على x^2 + 4x - 5 = 0، والتي تتحلل إلى (x + 5)(x - 1) = 0. الحلّان المحتملان هما 1 و-5.

جرّب -5 في المعادلة بعد جمع الطرف الأيسر، وستبدو النتيجة صحيحة: x(x + 4) يساوي -5 مضروبًا في -1، أي 5. جرّبه في المعادلة الأصلية، وستجد أنه لا يحققها فورًا، لأن ln(-5) ليس له قيمة. إذن -5 حلّ زائف، ويُسمّى أيضًا حلًّا دخيلًا، ولا يبقى سوى x = 1.

من أين أتى ذلك؟ يتطلب التعبير الأصلي أن يكون كل مُدخل موجبًا: x وx + 4 كلاهما أكبر من 0. أما اللوغاريتم الموحّد فلا يتطلب سوى أن يكون حاصل ضربهما موجبًا، كما أن ضرب عددين سالبين يعطي عددًا موجبًا أيضًا. أدى توحيد اللوغاريتمات إلى تخفيف الشرط، فقبلت المعادلة التربيعية إجابةً لم يسمح بها التعبير الأصلي قط. لهذا السبب، يعود التحقق دائمًا إلى المعادلة الأصلية، وليس إلى سطر كتبته أنت.