مجاميع لا نهائية

اقطع كعكة إلى نصفين، ثم اقطع النصف المتبقي إلى نصفين، واستمر في ذلك. تكون القطع 1/2 و1/4 و1/8، ... من الكعكة، ولا يمكن أن يصل مجموعها أبدًا إلى أكثر من الكعكة كاملة. قد يكون لمجموع لا ينتهي جواب محدود.

انظر إلى صيغة المجموع S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). عندما تكون r بين -1 و1، تتضاءل r^n مقتربةً من 0 كلما كبرت n: (1/2)^10 أصغر بالفعل من واحد على ألف. لذا، في مجموع لا ينتهي أبدًا، يختفي r^n و

S = a(1)/(1 - r)

بالنسبة إلى 10 + 5 + 5/2 + ...، النسبة هي 1/2، لذا S = 10/(1 - 1/2)، وتساوي 20. إذا كانت r تساوي 1 أو أكثر، أو -1 أو أقل، فإن الحدود لا تتناقص أبدًا، ولا يكون للمجموع قيمة منتهية.