مجاميع هندسية

اجمع 1 + 4 + 16 + 64 باستخدام حيلة. سمِّ المجموع S، ثم اضرب كل حد في النسبة 4: 4S = 4 + 16 + 64 + 256. تشترك القائمتان في 4 و16 و64، لذا فإن طرح S من 4S يُلغيها: 4S - S = 256 - 1. وهذا يساوي 3S = 255، لذا فإن S يساوي 85.

ينجح الطرح نفسه مع أي متتالية هندسية، ويعطي مجموع أول n حدٍّ فيها:

S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)

هنا يمثّل n عدد الحدود، لذلك يكون الأس r^n، وليس r^(n - 1). تحقّق من ذلك: 1 × (1 - 4^4)/(1 - 4) يساوي -255 على -3، أي 85. لا تكون الصيغة صالحة إلا عندما تكون r مساوية لـ 1، إذ يكون مقامها 0؛ عندها تكون كل الحدود متساوية، ويكون المجموع n مضروبًا في الحد الأول.