مجاميع هندسية

اجمع $1+4+16+64$ باستخدام حيلة. سمِّ المجموع S، ثم اضرب كل حد في النسبة 4: $4S = 4+16+64+256$. تشترك القائمتان في 4 و16 و64، لذا فإن طرح S من 4S يُلغيها: $4S-S = 256-1$. وهذا يساوي $3S = 255$، لذا فإن S يساوي 85.

ينجح الطرح نفسه مع أي متتالية هندسية، ويعطي مجموع أول n حدٍّ فيها:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

هنا يمثّل n عدد الحدود، لذلك يكون الأس ${r}^{n}$، وليس ${r}^{n-1}$. تحقّق من ذلك: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ يساوي -255 على -3، أي 85. لا تكون الصيغة صالحة إلا عندما تكون r مساوية لـ 1، إذ يكون مقامها 0؛ عندها تكون كل الحدود متساوية، ويكون المجموع n مضروبًا في الحد الأول.