قاعدة الضرب

لنأخذ $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. بما أن $9 = {3}^{2}$ و$27 = {3}^{3}$، فإن حاصل الضرب هو ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$، وهو ${3}^{5}$: تُجمع الأسس عند ضرب القوى. إذن قيمة اللوغاريتم هي 5، أي 2 زائد 3، لوغاريتم 9 زائد لوغاريتم 27. وهذه هي قاعدة حاصل الضرب:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

تنطبق على أيّ عددين موجبين M وN، للسبب نفسه. اللوغاريتمات هي أسس: إذا كان M يساوي b مرفوعًا للقوة p وكان N يساوي b مرفوعًا للقوة q، فإن MN يساوي b مرفوعًا للقوة $p+q$. لذلك فإن لوغاريتم حاصل الضرب هو مجموع اللوغاريتمات.

تكون القاعدة مفيدة أكثر عندما يكون أحد العاملين حرفًا. للعدد الموجب x، يصبح $\log_{3}\left(9x\right)$ $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$، و$\log_{3}\left(9\right)$ يساوي 2، لذا يصبح $2+\log_{3}\left(x\right)$.