شجرة واحدة لكل عدد

يمكن أن تبدأ شجرة العوامل بأي زوج. لنأخذ 48. تقسمها إحدى الأشجار إلى 6 × 8، ثم تقسم 6 إلى 2 × 3 و8 إلى 2 × 4، ثم تقسم 4 إلى 2 × 2. تبدأ شجرة أخرى بـ 4 × 12. تختلف الفروع، لكن كلتا الشجرتين تنتهيان بالأوراق نفسها: أربع مرات العدد 2 ومرة واحدة العدد 3، 2^4 × 3.

يحدث ذلك دائمًا: لكل عدد صحيح أكبر من 1 تحليل إلى عوامل أولية واحد بالضبط، أيًّا كانت الشجرة التي ترسمها. لا يتغير سوى ترتيب الأوراق، وترتيب العوامل في حاصل الضرب لا يهم أبدًا. لذا ابدأ بأي تحليل تلاحظه أولًا؛ فلا يمكن أن ينتهي بك الأمر إلى عوامل أولية مختلفة.

لهذا تُسمّى الأعداد الأولية لبنات بناء الأعداد الكلية. يتكوّن كل عدد من عوامله الأولية الخاصة به، ولا توجد مجموعة أخرى من الأعداد الأولية حاصل ضربها يساوي ذلك العدد. إذا حلّل شخصان العدد نفسه إلى عوامله وحصلا على أعداد أولية مختلفة، فقد ارتكب أحدهما خطأً.