사인 법칙이 성립하는 이유

C에서 변 AB에 높이 h를 내립니다. 이 높이는 삼각형을 두 개의 직각삼각형으로 나눕니다. 왼쪽 삼각형에서 h는 A의 대변이고 빗변은 b이므로, h = b×sin(A)입니다. 오른쪽 삼각형에서 h는 B의 대변이고 빗변은 a이므로, h = a×sin(B)입니다.

두 높이는 같습니다: b×sin(A) = a×sin(B). 두 사인 값으로 나누면 a/sin(A) = b/sin(B)을 얻습니다. 다른 꼭짓점에서 내린 높이도 같은 방식으로 c를 포함합니다. B가 둔각이면 높이는 삼각형 바깥에 놓이고, 그곳의 직각삼각형에는 180° − B가 들어 있으며, 이 각의 사인 값은 같습니다.

두 각과 그중 하나의 맞은편 변(AAS)은 바로 적용할 수 있는 경우입니다. A = 40°, B = 75°, a = 9일 때: b/sin(75°) = 9/sin(40°)이므로 b는 약 13.52입니다.