Ложный корень

Возведение в квадрат приводит к тому, что два разных числа выглядят одинаково: -3 и 3 не равны, но квадраты обоих равны 9. Поэтому возведение в квадрат может превратить ложное уравнение в истинное, и у полученного уравнения могут быть решения, которых нет у исходного.

Рассмотрим $\sqrt{x+6} = x$. Возведение в квадрат дает $x+6 = {x}^{2}$, поэтому ${x}^{2}-x-6 = 0$, что раскладывается на множители так: $\left(x-3\right)\left(x+2\right) = 0$. Возможные решения — 3 и -2. Проверь каждое в исходном уравнении. Для 3: $\sqrt{9}$ равно 3, и правая часть равна 3. Верно. Для -2: $\sqrt{4}$ равно 2, но правая часть равна -2. Неверно. Значит, -2 нужно отбросить, и единственный ответ — 3.

Кандидат, который получается при решении, но не удовлетворяет исходному уравнению, — это ложный ответ (в учебниках его называют посторонним корнем). Это не ошибка в ваших алгебраических преобразованиях: он появился из-за возведения в квадрат. Поэтому каждый кандидат проверяют в исходном уравнении, а не в уравнении после возведения в квадрат, которому удовлетворяют оба кандидата.