Сопряжённое в знаменателе

С таким знаменателем, как $4-\sqrt{6}$, справиться сложнее. Если умножить его на $\sqrt{6}$, получится $4\sqrt{6}-6$, так что корень просто переместится в другой член. Здесь нужна пара из предыдущей главы — сопряжённое выражение: те же два члена, но знак между ними изменён на противоположный. Сопряжённое выражение для $4-\sqrt{6}$ — это $4+\sqrt{6}$.

При умножении суммы на разность средние члены сокращаются: $\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right) = {a}^{2}-b$. Если a и b — целые числа, результат тоже будет целым числом, и корень исчезнет. Возьмём $\frac{10}{4-\sqrt{6}}$ и умножим числитель и знаменатель на $4+\sqrt{6}$:

$$\frac{10}{4-\sqrt{6}} = \frac{10\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6} = \frac{10\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}$$

Десятки сокращаются, и ответ — $4+\sqrt{6}$. Оставь числитель в скобках, пока не упростишь знаменатель: знаменатель — целое число, у которого часто есть общий множитель с числом перед ним, как здесь у числа 10; если раскрыть скобки раньше времени, это станет незаметно.