Степень 2/3

В ${x}^{\frac{2}{3}}$ числитель показателя степени чётный: ${x}^{\frac{2}{3}}$ — это ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$, кубический корень из x в квадрате. Возведение в квадрат скрывает знак, поэтому одному и тому же значению степени могут соответствовать два числа. Возьмём ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$. Кубический корень из 27 равен 3, а 3 в квадрате равно 9, значит, 27 подходит. Кубический корень из -27 равен -3, а ${\left(-3\right)}^{2}$ тоже равно 9, значит, -27 также подходит.

Чтобы решить уравнение, возведём обе его части в степень 3/2. Правая часть станет равна 27 — положительному числу, степень 2/3 которого равна 9, как было показано выше. Левая часть не станет равна x: возведение в степень 2/3 скрыло знак x, а возведение в степень 3/2 извлекает квадратный корень, который не может вернуть знак. Поэтому левая часть станет равна $\left|x\right|$:

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ означает, что x = 27 или x = -27, точно так же, как ${x}^{2} = 9$ даёт 3 и -3.

Из той же схемы следуют два быстрых способа проверки. Нижнее число, 3, нечётное, поэтому кубический корень можно извлечь из любого числа и ни один из ответов не нужно отбрасывать. Верхнее число, 2, чётное, поэтому степень никогда не бывает отрицательной: ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ не имеет решений в действительных числах.