m над n

У степени, например ${25}^{\frac{3}{2}}$, две задачи. Разложим показатель степени: 3/2 — это 1/2, умноженное на 3, поэтому, согласно правилу возведения степени в степень, ${25}^{\frac{3}{2}} = {\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3}$. Знаменатель дроби указывает, какой корень извлечь, а числитель — в какую степень возвести результат.

$${25}^{\frac{3}{2}} = {\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3} = {5}^{3} = 125$$

В общем случае для неотрицательного числа ${a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}}\right)}^{m}$: сначала берём корень n-й степени, затем возводим в степень m. Можно сначала возвести в степень, ${25}^{3} = 15625$, а затем извлечь квадратный корень из 15625. Получится тоже 125, поскольку в обоих случаях мы приходим к одной и той же степени. Но если сначала извлечь корень, числа останутся достаточно маленькими, чтобы можно было посчитать в уме.