Один корень в знаменателе

Рассмотрим $\frac{6}{\sqrt{3}}$. Это вполне подходящее число, но, чтобы оценить его, пришлось бы вручную разделить 6 на 1.732. Поэтому договорились: не оставлять корни в знаменателе дроби. Преобразование дроби так, чтобы в её знаменателе не было корня, называется освобождением от иррациональности в знаменателе, поскольку знаменатель становится рациональным числом.

Для этого пригодится факт из предыдущей главы: корень, умноженный сам на себя, даёт число, которое под ним стояло, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = 3$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$. Это равносильно умножению на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, то есть на 1, поэтому значение не изменится:

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$$

Теперь сократите 3 в числителе и 6, и ответ — $2\sqrt{3}$. Зачем это делать? С целым числом в знаменателе проще работать: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это половина от 1.414, что можно вычислить в уме, тогда как $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — то же число, но здесь нужно разделить на 1.414. Единая общепринятая форма также упрощает сравнение ответов: $\frac{5}{\sqrt{5}}$ и $\sqrt{5}$ выглядят по-разному, а рационализация показывает, что они равны.