Обратная функция квадрата

Функция $f\left(x\right) = {x}^{2}$ в таком виде не имеет обратной функции. И 2, и -2 дают 4, поэтому на вопрос об обратном значении для 4 пришлось бы дать два ответа. Решение — ограничить область определения f значениями $x \ge 0$. Тогда каждому выходному значению соответствует только одно входное.

Возьмём $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ при $x \ge 0$. Как обычно, поменяем местами x и y: $x = {y}^{2}-3$. Выразим y: перенос -3 в другую часть даёт $x+3 = {y}^{2}$, а извлечение квадратного корня из обеих частей даёт два ответа: $y = \sqrt{x+3}$ и $y = -\sqrt{x+3}$.

Ограничение выбирает один вариант. Значения обратной функции — это входные значения f, и они не меньше 0. Корень с минусом даёт отрицательные значения, поэтому получаем: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$. Проверим: f(2) равно 1, а обратная функция переводит 1 в $\sqrt{4}$, то есть в 2. На ограниченной области определения обратная функция к возведению в квадрат — это квадратный корень.