Обратная функция квадрата

Часть раздела Радикалы и рациональные показатели степени путешествия по Algebra 2 на Coddy. Урок 37 из 43.

Функция f(x) = x^2 в таком виде не имеет обратной функции. И 2, и -2 дают 4, поэтому на вопрос об обратном значении для 4 пришлось бы дать два ответа. Решение — ограничить область определения f значениями x >= 0. Тогда каждому выходному значению соответствует только одно входное.

Возьмём f(x) = x^2 - 3 при x >= 0. Как обычно, поменяем местами x и y: x = y^2 - 3. Выразим y: перенос -3 в другую часть даёт x + 3 = y^2, а извлечение квадратного корня из обеих частей даёт два ответа: y = √(x + 3) и y = -√(x + 3).

Ограничение выбирает один вариант. Значения обратной функции — это входные значения f, и они не меньше 0. Корень с минусом даёт отрицательные значения, поэтому получаем: f^-1(x) = √(x + 3). Проверим: f(2) равно 1, а обратная функция переводит 1 в √(4), то есть в 2. На ограниченной области определения обратная функция к возведению в квадрат — это квадратный корень.

Задание

Найдите обратную функцию для f(x) = x^2 + 1 при x >= 0. На доске записано уравнение с переставленными переменными x = y^2 + 1. Запишите шаги самостоятельно: сначала оставьте квадрат отдельно, затем найдите y. Поскольку f принимает только входные значения x >= 0, её обратная функция принимает только значения не меньше 0, поэтому оставьте только корень со знаком «плюс».

Попробуйте сами

x = y^2 + 1

Выразить y