То же количество — новое название

Разрежьте полоску пополам и закрасьте одну половину: это $\frac{1}{2}$. Вместо этого разрежьте ту же полоску на 4 равные части, и закрашенная часть будет занимать 2 из них, $\frac{2}{4}$. Разрежьте её на 6 частей, и закрашенными будут 3, $\frac{3}{6}$. Три названия — одно и то же количество.

Сверху: 1 из 2 частей. Посередине: 2 из 4. Снизу: 3 из 6. Закрашенная часть везде одинакова.

Посмотрите, что изменилось при переходе от $\frac{1}{2}$ к $\frac{3}{6}$: каждую часть разделили на 3, поэтому частей стало в 3 раза больше, и закрашенных частей тоже стало в 3 раза больше. И числитель, и знаменатель умножили на 3. Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число даёт равную дробь: новое обозначение той же величины.

Это работает для любой дроби и любого множителя, кроме 0: $\frac{2}{3}$ равна $\frac{4}{6}$, а также $\frac{10}{15}$. На числовой прямой равные дроби находятся точно в одной и той же точке. А вот складывать одно и то же число с числителем и знаменателем нельзя: если прибавить 1 к числителю и знаменателю дроби $\frac{1}{2}$, получится $\frac{2}{3}$, то есть величина станет больше.