Сокращаем дроби по шагам

Для упрощения не обязательно находить НОД. Можно разделить числитель и знаменатель на любой общий множитель, а затем проверить ещё раз. $\frac{40}{60}$: оба числа чётные, поэтому разделим их пополам: $\frac{20}{30}$. Оба числа снова чётные: $\frac{10}{15}$. Теперь оба числа заканчиваются на 0 или 5, поэтому разделим на 5: $\frac{2}{3}$.

Почему в итоге получается то же самое, что и при нахождении НОД? Деление на 2, затем на 2 и на 5 в сумме равносильно делению на $2\cdot 2\cdot 5$, то есть на 20, а 20 — это НОД чисел 40 и 60. Эти шаги просто разбивают НОД на небольшие множители, которые легко заметить.

Остановись, когда у числителя и знаменателя не останется общих делителей, кроме 1: у 2 и 3 нет общих делителей, поэтому $\frac{2}{3}$ уже сокращена. Быстро проверить наличие общего делителя можно так: если оба числа чётные, общий делитель — 2; если оба оканчиваются на 0 или 5 — 5; если сумма цифр каждого числа кратна 3 — 3.