1 + tan²x = sec²x

Chia từng số hạng của ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ cho ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Khi đó, $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ bằng ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ bằng 1, và $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ bằng ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Từ đó, ta có đẳng thức thứ hai.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Đẳng thức này đúng khi cos x khác 0. Trừ 1 ở cả hai vế: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Vậy $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ bằng $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, bằng tan x.