tan(A + B) và tan(A - B)

Chia sin(A + B) cho cos(A + B), rồi chia cả tử và mẫu cho cos A cos B, ta thu được các công thức tang chỉ theo tang:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Cần có tan A và tan B (không góc nào bằng 90° cộng với một số nguyên lần nửa vòng), đồng thời mẫu số không được bằng 0. Ở tử số, dấu phụ thuộc vào góc; ở mẫu số, dấu ngược lại. Với 75° = 45° + 30°, trong đó tan 45° = 1 và $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Khử căn ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, ở đây là 3 + √3: mẫu số trở thành 9 - 3 = 6, tử số là ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, và $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.