Các tổng thành tích

Đọc ngược các công thức tích, với nửa tổng và nửa hiệu của các góc, ta biến tổng thành tích:

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Với $\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$, nửa tổng là 3x và nửa hiệu là 2x, nên biểu thức bằng $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$.

Đây là cách hai nốt nhạc có cao độ gần bằng nhau hòa quyện với nhau. Tổng của chúng là một sóng nhanh có cao độ bằng cao độ trung bình, nhân với một sóng chậm có tần số bằng một nửa độ chênh lệch cao độ. Âm lượng thay đổi theo biên độ của sóng chậm, đạt cực đại hai lần trong mỗi chu kỳ, nên nhịp phách bạn nghe được lặp lại với tần số bằng toàn bộ độ chênh lệch: hai nốt có tần số 440 Hz và 442 Hz tạo ra nhịp phách hai lần mỗi giây.