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两个特殊三角形

本课属于 Coddy Trigonometry 学习旅程的“直角三角形的三角函数”单元。第 25 课，共 46 课。

几何中的两个三角形可以得到 30°、45° 和 60° 的精确值。沿对角线切开一个正方形：每一半的角度为 45°、45°、90°，两条直角边长为 1，斜边长为 √2。将边长为 2 的等边三角形从中间切开：每一半的角度为 30°、60°、90°，边长分别为 1、√3 和 2，其中边长为 1 的边与 30° 角相对。

$正方形的一半：直角边长为 1 和 1，斜边长为 √2，两个 45° 角$

$等边三角形的一半：边长为 1、√3 和 2，角度为 30° 和 60°$

从它们中读出 SOH CAH TOA，就能得到下面的表格。有两项做了整理：将 1/√2 写成 √2/2，将 1/√3 写成 √3/3，方法是分子和分母同时乘以根号。

角度	sin	cos	tan
$30^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

用这些值计算出的边长是精确值，包含根号，而且无需四舍五入。如果忘了其中一项，就画出三角形并从图中读出。

挑战

三角形 ABC 在 C 点有一个直角，A 点的角为 60°。斜边长为 8。精确求出与 60° 角相对的边 x，答案中要含有根号。然后按下“检查”。

亲手试试

$利用图形求 x$

利用图形求 x

直角三角形的三角函数中的所有课

1用角度测量

树有多高？边的名称正切比

4寻找斜边

分数线下方的未知数风筝线有多长？分数线下方的一条直角边答案合理吗？回顾：斜边

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仰角从视线高度测量俯角太阳的角度两个三角形，一个高度回顾：向上看与向下看

2三角比

正弦比余弦比选择合适的比值回顾：三角比

5求角度

反正弦反余弦反正切斜坡的角度两个锐角复习：求角度

8倒数三角比

余割、正割、余切精确的倒数值由余割求边梯子与正割回顾：倒数三角比

3求边长

任意角的边长对答案进行四舍五入正切：由一条直角边求另一条靠墙的梯子另一个锐角回顾：求边长

6特殊三角形，精确求值

两个特殊三角形精确的斜边 30°旁边的边精确角度回顾：精确值

9最终挑战

梯子安全吗？轮椅坡道两位观察者着陆平面风筝太阳的角度，精确值