دائرة ومستقيم

تنجح الطريقة نفسها مع المنحنيات التي ليست قطعًا مكافئة. لنأخذ x^2 + y^2 = 25. وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، تكون النقطة (x, y) على بُعد 5 من نقطة الأصل بالضبط عندما تتحقق هذه المعادلة، لذا فإن رسمها البياني هو دائرة نصف قطرها 5 ومركزها (0, 0). العدد في الطرف الأيمن هو مربع نصف القطر.

لإيجاد نقاط تقاطعها مع المستقيم y = x + 1، نعوّض عن y بتعبير المستقيم في معادلة الدائرة: x^2 + (x + 1)^2 = 25. نفك القوس، فنحصل على x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25، ثم نجمع الحدود المتشابهة وننقل 25: 2x^2 + 2x - 24 = 0. نقسم على 2 ونحلّل: (x + 4)(x - 3) = 0، لذا فإن x تساوي -4 أو 3.

أوجد قيمة y لكل حالة من الخط: عندما x = 3 تكون y = 4، وعندما x = -4 تكون y = -3. نقطتا التقاطع هما (3, 4) و(-4, -3)، وكلتاهما تحققان معادلة الدائرة، لأن 9 + 16 و16 + 9 يساويان 25. عوّض في معادلة الدائرة، وليس العكس: فالخط وحده يحدد قيمة y.