العودة إلى الأرض

ترتفع كرة رُكلت عن الأرض إلى ارتفاع $h = -5{t}^{2}+10t$ متر بعد مرور t ثانية. متى تسقط على الأرض؟ يعني السقوط أن يكون الارتفاع 0، لذا حلّ $-5{t}^{2}+10t = 0$.

لا يوجد حد ثابت، لذا يشترك الحدّان في العامل t، وكذلك في العامل -5. بإخراج -5t نحصل على $-5t\left(t-2\right) = 0$. يكون حاصل ضرب العوامل 0 فقط عندما يكون أحدها 0، لذا قسّم المسألة إلى حالتين: $t = 0$ أو $t-2 = 0$. الإجابتان هما 0 و2 ثانية.

الإجابتان لحظتان حقيقيتان. عند t = 0 تكون الكرة على الأرض لأنها رُكلت للتو؛ وعند t = 2 تهبط. تكون قمة مسارها في المنتصف بينهما، عند t = 1، لأن القطع المكافئ متماثل حول رأسه.