أكبر مساحة

لديك 40 مترًا من السياج لإحاطة مستطيل بالكامل. إذا كان العرض هو w، فإن العرضين والطولين يساوي مجموعهما 40، لذا فإن عرضًا واحدًا وطولًا واحدًا يساوي مجموعهما 20. الطول هو 20 - w، والمساحة هي A(w) = w(20 - w).

أي عرض يوفّر أكبر مساحة؟ بعد التوسيع، A(w) = -w^2 + 20w: قطع مكافئ مفتوح إلى الأسفل، لذا فإن رأسه يمثّل أكبر مساحة. جذراه هما w = 0 وw = 20، حيث يكون المستطيل مسطّحًا ولا مساحة له. يقع الرأس في منتصف المسافة بينهما، عند w = 10، وA(10) = 10(10)، أي 100 متر مربع.

أفضل مستطيل هو مربع أبعاده 10 في 10. وهذا ليس من قبيل المصادفة: عند ثبات طول السياج، يحيط المربع دائمًا بأكبر مساحة مقارنةً بجميع المستطيلات.