قوى i

اضرب i في نفسه مرارًا وتكرارًا. i^1 = i وi^2 = -1. ثم i^3 = i^2 × i = -i، وi^4 = i^2 × i^2، وهو حاصل ضرب -1 في -1، أي 1. ويبدأ التسلسل من جديد عند إضافة عامل آخر: i^5 = i^4 × i = i. تتكرر القوى عبر أربع قيم إلى ما لا نهاية: i، -1، -i، 1.

لذا، عند التعامل مع قوة كبيرة، اقسم الأس على 4 واحتفظ بالباقي. بالنسبة إلى i^23: 23 = 4 × 5 + 3، لذا i^23 = (i^4)^5 × i^3، وهو 1 مضروبًا في -i، أي -i. الباقي 1 يعطي i، والباقي 2 يعطي -1، والباقي 3 يعطي -i، والباقي 0 يعطي 1.

لماذا 4؟ لأن i^4 = 1، والضرب في 1 لا يغيّر شيئًا، لذا تختفي كل مجموعة من أربع وحدات i. لهذا السبب i^40 = 1: العدد 40 يساوي 4 مضروبًا في 10، ولا يتبقى أي i.