قوى i

اضرب i في نفسه مرارًا وتكرارًا. ${i}^{1} = i$ و${i}^{2} = -1$. ثم ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$، و${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$، وهو حاصل ضرب -1 في -1، أي 1. ويبدأ التسلسل من جديد عند إضافة عامل آخر: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. تتكرر القوى عبر أربع قيم إلى ما لا نهاية: i، -1، -i، 1.

لذا، عند التعامل مع قوة كبيرة، اقسم الأس على 4 واحتفظ بالباقي. بالنسبة إلى ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$، لذا ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$، وهو 1 مضروبًا في -i، أي -i. الباقي 1 يعطي i، والباقي 2 يعطي -1، والباقي 3 يعطي -i، والباقي 0 يعطي 1.

لماذا 4؟ لأن ${i}^{4} = 1$، والضرب في 1 لا يغيّر شيئًا، لذا تختفي كل مجموعة من أربع وحدات i. لهذا السبب ${i}^{40} = 1$: العدد 40 يساوي 4 مضروبًا في 10، ولا يتبقى أي i.