مربعات تساوي أعدادًا سالبة

في الجبر، لم يكن للمعادلة ${x}^{2} = -9$ حل، لأنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي -9. أما باستخدام i، فلها حلان. ابدأ من ${x}^{2}+9 = 0$: انقل 9 إلى الطرف الآخر لتحصل على ${x}^{2} = -9$، ثم خذ الجذر التربيعي للطرفين: $x = 3i$ أو $x = -3i$.

لماذا حلان؟ كل من ${\left(3i\right)}^{2}$ و${\left(-3i\right)}^{2}$ يساوي $9{i}^{2}$، وهو -9، تمامًا كما أن مربعي 3 و-3 يساويان 9. إن أخذ الجذر التربيعي للطرفين يُظهر دائمًا إشارة ±.

الحلان مترافقان، وهذا ليس من قبيل المصادفة: عندما يكون للمعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية a وb وc حلٌّ يتضمن i، يكون مرافقه هو الحل الآخر.