תשובה שגויה

פתרו את $\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$. מאחדים את הביטויים בצד שמאל ל־$\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$, משווים את הביטויים שבתוך הלוגריתמים ומקבלים את ${x}^{2}+4x-5 = 0$, שמתפרק לגורמים כך: $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$. המועמדים הם 1 ו־-5.

נסו להציב -5 במשוואה המאוחדת, ונראה שהיא מתאימה: $x\left(x+4\right)$ הוא -5 כפול -1, כלומר 5. הציבו אותו במשוואה המקורית, והוא נכשל מיד, כי ל־$\ln\left(-5\right)$ אין ערך. לכן -5 הוא פתרון שגוי, הנקרא גם פתרון זר, ורק x = 1 נותר.

מאיפה זה הגיע? במשוואה המקורית כל קלט חייב להיות חיובי: גם x וגם $x+4$ צריכים להיות גדולים מ-0. בלוג שחובר צריך רק שהמכפלה שלהם תהיה חיובית, וגם שתי שליליות נותנות תוצאה חיובית. חיבור הלוגריתמים ריכך את התנאי, ולכן המשוואה הריבועית אפשרה תשובה שהמשוואה המקורית מעולם לא התירה. לכן תמיד בודקים מול המשוואה המקורית, ולא מול שורה שיצרת.