סכומים אינסופיים

חתכו עוגה לשניים, ואז חתכו את מה שנותר לשניים, והמשיכו כך. החתיכות הן 1/2, 1/4, 1/8, ... מהעוגה, והן לעולם לא יכולות להסתכם ביותר מעוגה שלמה. לסכום שנמשך לנצח יכולה להיות תשובה סופית.

התבוננו בנוסחת הסכום S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). כאשר r נמצא בין -1 ל-1, r^n הולך ומתקרב ל-0 ככל ש-n גדל: (1/2)^10 כבר קטן מאלפית. לכן, בסכום שאינו מסתיים לעולם, r^n נעלם ו

S = a(1)/(1 - r)

עבור 10 + 5 + 5/2 + ..., היחס הוא 1/2, ולכן S = 10/(1 - 1/2), שערכו 20. אם r הוא 1 או יותר, או ‎-1 או פחות, האיברים לעולם אינם קטנים יותר, ולסכום אין ערך סופי.