חיבור האיברים

חברו את 10 האיברים 2, 5, 8, ..., 29. צרפו את הראשון לאחרון: 2 ועוד 29 הם 31. צרפו את השני ללפני האחרון: גם 5 ועוד 26 הם 31. כל זוג נותן 31, כי מספר אחד גדל ב־3 בדיוק כפי שבן הזוג שלו קטן ב־3. עשרה איברים יוצרים 5 זוגות, ולכן הסכום הוא $5\cdot 31$, שהם 155.

כשכותבים זאת עבור כל סדרה חשבונית בת n איברים, מקבלים $\frac{n}{2}$ זוגות, שכל אחד מהם שווה לאיבר הראשון ועוד האחרון. כאשר n אי־זוגי, האיבר האמצעי הוא חצי זוג, והספירה עדיין עובדת:

$$S = \frac{n}{2}\cdot \left(a\left(1\right)+a\left(n\right)\right)$$

האגדה מספרת שקרל פרידריך גאוס הצעיר חיבר את המספרים מ-1 עד 100 ברגעים ספורים בדרך זו.