איחוד ללוגריתם אחד

שלושת הכללים עובדים גם בכיוון ההפוך, ואז הם מאחדים לוגריתמים לאחד. עבור x חיובי, סכום של לוגריתמים בעלי אותו בסיס הוא הלוגריתם של מכפלה: log_3(x) + log_3(4) = log_3(4x). הפרש הוא הלוגריתם של מנה: log_3(x) - log_3(4) = log_3(x/4). ומספר שמופיע לפני הלוגריתם הופך לחזקה: 2log_3(x) = log_3(x^2).

למה זה מועיל? משוואה עם לוגריתם יחיד נמצאת במרחק צעד אחד מפתרון: מעלים את הבסיס בחזקת שני האגפים, כמו בפרק האחרון. איחוד הלוגריתמים הוא הדרך שבה משוואות לוגריתמיות ארוכות יותר מגיעות לנקודה הזאת.

הכללים מחברים רק לוגריתמים בעלי אותו בסיס. log_2(x) + log_3(x) לא יכולים להפוך ללוגריתם אחד, כי כל כלל נובע מחזקות של בסיס יחיד. כשמספר מופיע לפני הלוגריתם, העלו אותו תחילה בחזקה, ואז חברו.