איחוד ללוגריתם אחד

שלושת הכללים עובדים גם בכיוון ההפוך, ואז הם מאחדים לוגריתמים לאחד. עבור x חיובי, סכום של לוגריתמים בעלי אותו בסיס הוא הלוגריתם של מכפלה: $\log_{3}\left(x\right)+\log_{3}\left(4\right) = \log_{3}\left(4x\right)$. הפרש הוא הלוגריתם של מנה: $\log_{3}\left(x\right)-\log_{3}\left(4\right) = \log_{3}\left(\frac{x}{4}\right)$. ומספר שמופיע לפני הלוגריתם הופך לחזקה: $2\log_{3}\left(x\right) = \log_{3}\left(x^{2}\right)$.

למה זה מועיל? משוואה עם לוגריתם יחיד נמצאת במרחק צעד אחד מפתרון: מעלים את הבסיס בחזקת שני האגפים, כמו בפרק האחרון. איחוד הלוגריתמים הוא הדרך שבה משוואות לוגריתמיות ארוכות יותר מגיעות לנקודה הזאת.

הכללים מחברים רק לוגריתמים בעלי אותו בסיס. $\log_{2}\left(x\right)+\log_{3}\left(x\right)$ לא יכולים להפוך ללוגריתם אחד, כי כל כלל נובע מחזקות של בסיס יחיד. כשמספר מופיע לפני הלוגריתם, העלו אותו תחילה בחזקה, ואז חברו.