Il teorema del coseno

Due lati e l’angolo compreso tra loro (SAS) non forniscono alcuna coppia completa, quindi la legge dei seni si blocca. La legge del coseno trova il terzo lato, con C come angolo compreso tra i lati a e b:

$${c}^{2} = {a}^{2}+{b}^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\left(C\right)$$

È il teorema di Pitagora con una correzione. Quando C = 90°, il coseno è 0 e l’ultimo termine scompare. Un angolo inferiore a 90° avvicina i lati, il coseno è positivo e il termine sottrae una parte della lunghezza.

Lati di 8 e 15 con 60° tra loro: ${c}^{2} = {8}^{2}+{15}^{2}-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos\left(60^{\circ}\right)$, che equivale a 64 + 225 − 120 = 169. c² = 169 dà c = 13 oppure c = −13, e una lunghezza è positiva, quindi il lato misura 13. Alla lavagna la radice negativa viene esclusa autonomamente.